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Limites infinitos e limites no infinito são conceitos essenciais no estudo do cálculo, desempenhando um papel fundamental na compreensão do comportamento das funções à medida que suas variáveis independentes se aproximam de valores extremos.

Nesse contexto, seja f a função racional definida pela seguinte lei de formação:

fx=3×3+4x+25×3+1

Qual é o resultado do limite da função f apresentada quando x tende a valores muito grandes de x?

O estudo de máximos e mínimos de funções pode ser realizado por meio das características da função e de suas derivadas, a partir dos testes correspondentes.

Com base nesse tema, seja a função real:

fx=x3-12x-5

A respeito dessa função, analise as seguintes afirmações:

1. A função f admite um único ponto crítico.
2. A função f assume um valor máximo local em x=-2.
3. A função f assume um valor mínimo local em x=2.

Está correto o que se afirma apenas em:

Para as funções logarítmica e exponencial há regras de derivações especificas, bem como regras específicas de acordo com o tipo de função construída. Por exemplo, a função fx=ln x possui sua derivada igual a 1x.

Com base nessas informações, seja a função dada por:

gx=ln 7×2-4

Há alguns testes que são realizados utilizando a derivada, como o teste da derivada primeira que nos diz onde uma função é crescente e onde é decrescente. Além disso, tal teste revela se um mínimo ou máximo local ocorre em um ponto crítico.

Mediante essas informações considere a função:

fx=7×2+4x

A regra de l’Hospital é uma estratégia que pode favorecer o cálculo de determinados tipos de limites, desde que as funções envolvidas sejam diferenciáveis.

Nesse sentido, considere o limite a seguir:

limx→0 3x-sen xx

Pela regra de l’Hospital, podemos concluir que o limite apresentado resulta em:

Por definição, uma função é contínua em um intervalo se for contínua em todos os números que compõem o intervalo em estudo.

Seja a função de uma variável real definida por:

fx=3,                   se x<03x+3,  se x≥0 

Considerando as características da função f, analise as afirmações apresentadas no que segue:

1. O limite da função f, quando x tende a zero, não existe porque os limites laterais são distintos.
2. Os limites laterais da função f, quando x tende a zero, existem e são iguais.
3. A função f é contínua em x=0.

As taxas relacionadas consistem em um dos estudos que podem ser realizados com base nas derivadas e suas propriedades.

Diante desse tema, analise as seguintes afirmações:

1. Para resolver um problema de taxas relacionadas, o procedimento consiste em determinar uma equação que relacione as duas grandezas e então usar a regra da cadeia para derivar.
2. Para resolver um problema de taxas relacionadas é necessário utilizar o teste da derivada de segunda ordem.
3. O estudo das derivadas de funções implícitas está relacionado às taxas relacionadas.

As funções trigonométricas apresentam por características ser periódicas, ou seja, em valores específicos do seu domínio há uma repetição da imagem, semelhante a ideia de ciclo, ou seja, o período a ser constituído. Considere a função

Ht=tg t+3t2-t+1

Os limites no infinito podem ser aplicados quando desejamos determinar, por exemplo, qual é o comportamento de uma função que descreve a população de determinada espécie em uma região, dada em função do tempo, quando tomamos valores de tempo muito grandes. Nesse caso, é importante avaliar a existência de limites, as propriedades que podem ser aplicadas, não utilizando procedimentos que ocasionem em indeterminações.

Com base nesse tema, e considerando o estudo apenas dos valores positivos dos domínios das funções, julgue as afirmativas a seguir em verdadeiras (V) ou falsas (F):

(   ) Quando calculamos o limite, no infinito, para funções polinomiais não constantes, independentemente do grau, o limite será sempre infinito.

(   ) Quando calculamos o limite, no infinito, para funções racionais, independentemente do grau, o limite será sempre constante e igual a zero.

(   ) Quando calculamos o limite, no infinito, para as funções trigonométricas seno e cosseno, o limite sempre será igual a zero.

Considere a função polinomial

ft=t2-4t+5

que relaciona o espaço percorrido por um móvel a cada instante de tempo t. Sabe-se que a derivada dessa função resulta na velocidade.